¿Cuántos pares únicos de enteros se pueden multiplicar para obtener 160?

Tome la factorización prima de su número. Se expresará en la forma
[matemáticas] x_1 ^ ax_2 ^ b… x_n ^ z [/ matemáticas].

El número de factores de un número se puede expresar como [matemáticas] (a + 1) (b + 1) … (z + 1) [/ matemáticas]. En su caso, esto es [matemáticas] (5 + 1) (1 + 1) = 12 [/ matemáticas]. Como cada factor debe tener un par, esto puede verse como el número de factorizaciones positivas dividiendo por dos, siempre que el número no sea un cuadrado perfecto, en cuyo caso uno de los pares es él mismo. En este caso, debemos tomar el número dividido entre dos y redondear. De esto se puede ver que todos los números impares generados aquí deben ser cuadrados perfectos. Podemos ver que la fórmula general es dos veces el techo de [matemáticas] x_1 ^ ax_2 ^ b… x_n ^ z [/ matemáticas] dividido por dos.

Mirar las factorizaciones que otros han enumerado a continuación debería darle una idea de por qué. Un número primo elevado a una potencia x tiene factores x + 1.

No. de pares únicos son 12.
Los pares son
(5,32), (-5, -32)
(10,16), (- 10, -16)
(20,8), (- 20, -8)
(40,4), (- 40, -4)
(80,2), (- 80, -2)
(160,1), (- 160, -1)

La factorización prima de 160 es 2 ^ 5 * 5. Por lo tanto, esencialmente podría tomar:
(2 ^ 5) * 5
(2 ^ 4) * (2 * 5)
(2 ^ 3) * (2 ^ 2 * 5)
(2 ^ 2) * (2 ^ 3 * 5)
2 * (2 ^ 4 * 5)
1 * 160.

Entonces 6 usando enteros positivos. Además, las opciones negativas dan 12.

160 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5.

5 * 32
10 * 16
20 * 8
40 * 4
80 * 2
160 * 1

6 combinaciones

Sin embargo, me interesaría un algoritmo que resuelva este problema para cualquier número de la manera más eficiente.