¿Cuál es el área de paralelogramo representada por los vectores [matemáticas] \ vec {A} = 2 \ hat \ imath + 3 \ hat \ jmath [/ math] y [math] \ vec {B} = \ hat \ imath + 4 \ hat \ jmath [/ math]?

Answer 1

¡Dos formas de llegar a la respuesta!

• Producto de punto:

| A | = √13, | B | = √17 {Magnitud de vectores}

Representaré vectores con un prefijo de #.

Fórmula general de “producto punto”:

(#A). (# B) = | A |. | B | .cos ∆ {donde, ∆ es el ángulo entre dos vectores}

Poniendo valores, obtenemos

cos ∆ = 14 / √221.

Como los vectores tienen diferentes magnitudes, serán adyacentes en el paralelogramo.

El área del paralelogramo es, (A). (B). (Sin ∆).

Convirtiendo el valor cos∆, en sen ∆, obtenemos,

sen ∆ = 5 / √221.

Al poner valores en la fórmula del área del paralelogramo, obtenemos

Área = ABsin∆ = √221 * (5 / √221) unidad cuadrada = 5 unidad cuadrada.

• Producto cruzado:

¡Es un segundo enfoque y uno corto!

Como los vectores están en su forma componente, podemos usar “producto cruzado” directamente, para multiplicar sus lados y obtener el área del paralelogramo.

AxB = (2i + 3j + 0k) x (i + 4j + 0k).

AxB = 5k.

Magnitud de AxB = √ (5 ^ 2) = cuadrado de 5 unidades.

Este, el área del paralelogramo es de 5 unidades cuadradas.

Answer 2

Sabemos que el área del triángulo ABC

∆ = 1/2 * a * b * sin C

Aquí C es el ángulo entre el lado ayb.

A y B son los dos lados adyacentes del paralelogramo PQRS.

Todos sabemos que en el paralelogramo el área PQRS del triángulo PQS y QRS son iguales.

Entonces, el área del paralelogramo PQRS = 2 veces el área del triángulo PQS.

Deje QP = A = (2i + 3j)

Y QS = B = (i + 4j)

Entonces, el área del triángulo PQS = 1/2 × | QP || QS | sin (Q)

= 1/2 × | QP × QS | = 1/2 | A × B |

Aquí A × B es producto cruzado de los vectores A y B.

Entonces, el área del paralelogramo PQRS = 2 veces el área del triángulo PQS.

= | A × B |

Answer 3

[matemáticas] \ newcommand {\ v} [1] {\ overrightarrow {# 1}} \ newcommand {\ h} [1] {\ hat {# 1}} [/ math]

El área del paralelogramo formado por dos vectores es,

[matemáticas] A = \ lVert \ v {v_1} \ times \ v {v_2} \ rVert \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces, en este caso,

[matemáticas] \ text {Área} = \ lVert \ v {A} \ times \ v {B} \ rVert \ tag * {} [/ matemáticas]

Primero calculamos el producto cruzado,

[matemáticas] \ v {A} \ times \ v {B} = \ left | \ begin {array} {lll} \ h {i} & \ h {j} & \ h {k} \\ 2 y 3 & 0 \\ 1 y 4 y 0 \ end {array} \ right | \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ v {A} \ veces \ v {B} = 5 \ h {k} \ tag * {} [/ matemáticas]

---

Ahora, calculamos la magnitud que nos dará el área.

[matemáticas] \ text {Área} = \ lVert 5 \ h {k} \ rVert = 5 \ lVert \ h {k} \ rVert \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] \ text {Area} = \ boxed {5} \ tag * {} [/ math]

Answer 4

El área es una cantidad escalar y la multiplicación de dos vectores puede no hacer un escalar. Los escalares solo tienen la medida y no la dirección. Las áreas son números estáticos sin ninguna dirección como tal.

Answer 5

A × B = 2i (i + 4j) + 3j (i + 4j)

= 0 + 8k – 3k + 0

= 5k

Área = A × B = 5k = debajo de raíz 5 ^ 2

= 5

(i × i = 0, j × j = 0, i × j = k, j × i = -k)