Álgebra abstracta: ¿Por qué el grupo de números racionales se considera un campo numérico mientras que los grupos de números reales y complejos no lo son (debido a su falta de responsabilidad)?

Creo que puede estar confundido acerca de varios puntos. Primero, una definición: un campo numérico es una extensión finita de [math] \ mathbb {Q} [/ math], el campo de números racionales. “Extensión finita” significa que es un campo…
¿Cuál es una explicación intuitiva de las álgebras de Kac-Moody?

Bueno, tiene la teoría de los grupos Coxeter que se pueden definir de dos maneras (consulte Grupos de reflexión y Grupos Coxeter (Cambridge Studies in Advanced Mathematics): James E. Humphreys: 9780898715569: Amazon.com: Libros para más detalles): Como grupo…
¿Cuál es la mejor manera de comprender intuitivamente la rápida transformación de Fourier de un grupo (simétrico)?

Daré una respuesta parcial a su pregunta. En primer lugar, comprendamos qué es la transformación de Fourier en grupos. Un buen lugar para comenzar es la transformada discreta de Fourier, [matemáticas] \ displaystyle {X [k] = \ sum_…
Estoy aprendiendo que hay muchas nociones diferentes de campos en matemáticas, como los campos de Galois, los campos escalares, los campos finitos, etc. ¿Están todas estas nociones interconectadas de alguna manera?

Campos de Galois y campos finitos sí. Para los campos escalares, la identidad del nombre es una coincidencia. Un campo escalar es una variedad de los objetos llamados campos, que se definen como asignaciones que asignan a cada…
¿Cuál es la comprensión teórica detrás de por qué no hay una regla de multiplicación análoga para los trillizos del tipo buscado por WR Hamilton pero sí para los cuartetos / octetos?

Este es un gran tema, pero déjame ver si puedo llegar a una versión de términos simples (pido disculpas a cualquier matemático si lo estropeo; corrígeme si me equivoco :)) La verdadera respuesta aquí es el teorema de…
¿Es la multiplicación escalar con un vector conmutativa o no? ¿Por qué?

Tan pronto como diga “vector”, la respuesta es sí: si Va lo molesta, simplemente escríbalo como aV. Pero la noción de “espacio vectorial” puede (y está) generalizada a la de “módulos”. Los módulos son solo espacios vectoriales (o…
¿Se puede definir un vector en un espacio vectorial sobre un campo que tiene un solo componente o es entonces solo un elemento del campo?

Por supuesto, puede definir un espacio (unidimensional) de vectores con un solo componente. Se puede tratar como idéntico al campo subyacente. Pero también puedes tener una distinción mezquina. Por ejemplo, si considera espacios vectoriales de polinomios con coeficientes…
¿Qué son las bases duales y los espacios duales?

El espacio dual [matemático] V ^ * [/ matemático] de un espacio vectorial real dimensional [matemático] n [/ matemático] [matemático] V [/ matemático] es el espacio vectorial de funcionales lineales en [matemático] V [/ math], es decir, asignaciones…
¿Qué intuiciones sobre el álgebra lineal necesito descartar cuando el espacio vectorial está sobre un campo de característica finita?

La intuición es una guía peligrosa cuando se profundiza en los bosques de la abstracción. Aquí hay algunas trampas, algunas simples, algunas profundas. ([math] V [/ math] es un espacio vectorial sobre un campo [math] F [/ math].…
¿Qué es una explicación intuitiva del signo de una permutación?

Una permutación es otro nombre para barajar algo. Una forma de dibujar una permutación es así: Comenzamos con la fila superior, movemos las cosas según las flechas y terminamos con la fila inferior. Si comenzaste con los números…

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