¿Cómo podría uno encontrar si esto es convergente o divergente: [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {n + 5} {\ sqrt [3] {n ^ 7 + n ^ 2}} [ /matemáticas]

Answer 1

Esta es una serie positiva (cada término es positivo) donde las potencias de numerador y denominador de polinomios de n. Por lo tanto, podemos aplicar fácilmente la prueba de comparación de límites, que dice:

Si [math] \ sum a_n [/ math] y [math] \ sum b_n [/ math] son ​​dos series positivas como [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {a_n} {b_n} \ ne 0, \ infty [/ math], entonces ambas series convergen o divergen juntas.

Aquí, [matemáticas] a_n = \ dfrac {n + 5} {(n ^ 7 + n ^ 2) ^ {1/3}} [/ matemáticas]. Ahora tenemos que elegir una serie apropiada para la comparación. La forma más fácil de hacer esto es observar el orden efectivo de [math] a_n [/ math]. El numerador es de orden 1 en [matemáticas] n [/ matemáticas], y el denominador, de orden 7/3, entonces:

Deje [math] b_n = \ dfrac {n} {n ^ {7/3}} = \ dfrac {1} {n ^ {4/3}} [/ math]

Ahora:

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {a_n} {b_n} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {n + 5} {(n ^ 7 + n ^ 2) ^ {1 / 3}} \, \ dfrac {n ^ {7/3}} {n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {1 + \ frac {5} {n}} {\ left (1 + \ frac {1} {n ^ 5} \ right) ^ {1 / 3}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 \ ne 0, \ infty [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ sum a_n [/ math] converge si y solo si [math] \ sum b_n = \ sum \ dfrac {1} {n ^ {4/3}} [/ math] converge, y lo hace, siendo una serie p (serie armónica (matemáticas)) con p = 4/3> 1. Por lo tanto, la serie dada converge.

Answer 2

Uno puede abordar este problema con el Radio de convergencia.

Escriba algún objeto como [math] \ sum a_n x ^ n [/ math] donde [math] a_n = \ frac {n + 5} {(n ^ 5 + n ^ 2) ^ {1/3}} [/ math ]

El radio de convergencia (es decir, todos los valores de x para los que esta suma forma una función adecuada). Está dada por alguna desagradable expresión matemática. Una forma más simple de ello, sin embargo, es la prueba de relación:

[matemáticas] r = Lim_ {n \ rightarrow \ infty} | \ frac {a_n} {a_ {n + 1}} | [/ math].

Entonces tenemos que tomar el límite de [matemáticas] \ frac {a (n)} {a (n + 1)} = \ frac {(n + 5) \ sqrt [3] {(n + 1) ^ 5 + (n + 1) ^ 2}} {(n + 6) \ sqrt [3] {n ^ 5 + n ^ 2}} [/ math]. Es bastante fácil demostrar que el límite de esto (con [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] es 1.

Así que ahora sabemos que el radio de convergencia es 1. Esto es problemático. Como 1 era el valor de x que queríamos usar en nuestra serie (para encontrar su suma original). Pero el radio de convergencia solo te dice qué sucede si conectas un valor menor o mayor que él mismo. Si conectas r, puede ir en ambos sentidos.

Wolfram Alpha, una página web de las personas que hicieron un programa muy útil llamado Mathematica, dice que diverge. Al parecer, por la prueba de comparación.
\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n + 5} {\ sqrt [3] {n ^ 5 + n ^ 2}}

El radio de convergencia suele ser una herramienta bastante buena, ya que la prueba de relación es fácil de calcular. Desafortunadamente, solo da respuestas poco claras en [matemáticas] x = r [/ matemáticas].