¿Cuál es la intuición detrás del radio de convergencia?

Answer 1

Es más fácil entenderlo si utiliza un análisis complejo en lugar de un análisis real.

Cuando tiene una serie de potencia, [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty c_n (za) ^ n [/ math], donde [math] z [/ math] es una variable compleja, convergerá dentro de un círculo cuyo centro es [matemáticas] a [/ matemáticas] y cuyo radio se llama radio de convergencia , divergerá fuera de ese círculo, y puede converger o divergir para diferentes puntos en la circunferencia del círculo.

Considere la serie de potencias donde [matemática] a = 0 [/ matemática] y [matemática] c_n [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática] cuando [matemática] n [/ matemática] es primo y [matemática] 0 [/ matemáticas] si no lo es.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_pz ^ p = z ^ 2 + z ^ 3 + z ^ 5 + z ^ 7 + z ^ {11} \ cdots [/ math]

Resulta que esto tiene un radio de convergencia [matemática] r = 1 [/ matemática], por lo que la serie converge dentro del círculo unitario y diverge fuera de él. La gráfica de su valor absoluto se muestra a continuación.

Fuente de la imagen: artículo de Anders Sandberg sobre análisis complejo

Answer 2

La idea básica es más clara si tiene una buena comprensión de la convergencia de una serie geométrica simple.

[matemáticas] \ displaystyle 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 +… [/ matemáticas]

Converge si | r | <1, y luego la suma es 1 / (1-r). (Por ejemplo, si r = 1/2, entonces la suma es 2.)

Answer 3

Ayuda mirar primero la idea de convergencia en una serie infinita de términos constantes. La serie (hablando aquí de series no alternas) solo convergerá (absolutamente) si los términos tienden hacia cero a una velocidad lo suficientemente rápida como n-> infinito.

Entonces, pasar a una serie infinita de funciones como series de potencia, es lo mismo, solo que depende de la variable z. Para series de potencia, el término n viene dado por [math] c_n * (za) ^ n [/ math].

Entonces, para que converja en una z dada, los términos tienen que ir a cero lo suficientemente rápido. Esto depende del equilibrio entre los términos c_n y los términos [math] (za) ^ n [/ math]. El primero se reduce hacia cero con el aumento de n, mientras que los términos [math] (za) ^ n [/ math] depende de qué tan grande es za. Es decir, qué tan lejos está del centro de la expansión de su serie, a. Finalmente, habrá un radio dentro del cual za es lo suficientemente pequeño como para que los términos se reduzcan a una velocidad que permita que las series converjan.

Si [math] c_n [/ math] se encoge lo suficientemente rápido, esto abruma todo y la serie converge para todo z, es decir, un radio infinito de convergencia.