¿Por qué convergen las series [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n}} {n} [/ math]?

Answer 1

Utilice la prueba de comparación de límites para la serie infinita: prueba de comparación de límites

[matemáticas] a_n = \ dfrac {\ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n}} {n} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n}} {n} \ times \ dfrac {\ sqrt {n + 1} + \ sqrt {n}} {\ sqrt {n + 1} + \ sqrt {n}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {n \ sqrt {n + 1} + n \ sqrt {n}} [/ matemáticas]

Deje [math] b_n = \ dfrac {1} {n ^ \ frac {3} {2}}. [/ Math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {a_n} {b_n} = \ displaystyle [/ math] [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ dfrac {1} { n \ sqrt {n + 1} + n \ sqrt {n}}} {\ dfrac {1} {n ^ \ frac {3} {2}}} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ \ frac {3} {2}} {n \ sqrt {n + 1} + n \ sqrt {n}} = \ dfrac { 1} {2}. [/ Matemáticas]

La serie [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ \ frac {3} {2}} [/ math] converge, porque es una serie p con [matemáticas] p> 1. [/ matemáticas] Por lo tanto, por comparación de límite

prueba, la serie [matemática] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n}} {n} [/ math] también converge.

Answer 2

La función [math] \ sqrt {n} [/ math] tiene una segunda derivada negativa en n positivo. Por lo tanto, podemos extender linealmente la primera derivada para mostrar [math] \ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n} \ le \ frac {1} {2 \ sqrt {n}} [/ math].

Por lo tanto, [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} \ frac {\ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n}} {n} [/ math] es menor que [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} \ frac {1} {2n ^ {1.5}} [/ math] que se sabe que converge y es la mitad de la función zeta de Riemann evaluada en 1.5 (es decir, [math] \ frac {\ zeta (1.5)} {2} \ aproximadamente 1.306 [/ matemáticas]). Esto concuerda con mi cálculo estimado de que la suma de esta serie es aproximadamente 1.183.