¿Por qué una serie de Taylor para [math] f [/ math] no converge en todas partes [math] f [/ math] está definida?

Answer 1

(EDITAR: inicialmente comenté que esta es una pregunta extraña. Mi intención era que las preguntas de “por qué” en matemáticas a menudo son difíciles de interpretar, y en particular aquí no me quedó claro por qué habría una suposición natural de que Taylor la serie debería converger. Mi respuesta, a continuación, intenta aclarar por qué creo que es más natural suponer que no lo hace).

¿Por qué debería converger?

Una serie de Taylor es una serie de potencia: una suma de muchas potencias de [matemáticas] x [/ matemáticas] con todo tipo de coeficientes. A menos que esos coeficientes se estén volviendo cada vez más pequeños, la serie solo convergerá en un cierto intervalo y explotará fuera de este intervalo. Eso es muy razonable: si estás sumando [matemáticas] x ^ {10} [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ {700} [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ {90,000} [/ matemáticas] cuando [matemáticas ] x = 100 [/ math], la suma obviamente será enorme a menos que tengas algunos números microscópicamente pequeños que multipliquen esos enormes poderes.

Por lo tanto, las series de potencia convergen en algún rango, generalmente no en la recta numérica completa. Ahora, una serie de Taylor se fabrica a partir de las derivadas de una función en un cierto punto (típicamente [matemática] x = 0 [/ matemática]), y en el mejor de los casos esperamos que represente la función muy cerca de ese punto . Lo que la serie Taylor hace alrededor de [matemáticas] x = 100 [/ matemáticas] tiene muy poco que ver con la función original y, de hecho, no hay absolutamente ninguna razón para esperar que converja allí.

Los coeficientes de esta serie son el resultado de varios cálculos en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]; ¿Por qué serían microscópicamente pequeños? A menudo, no lo son, como se puede ver en este ejemplo simple:

[matemáticas] \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ ldots [/ matemáticas]

que es una serie de Taylor muy ordenada que converge para [matemáticas] | x | <1 [/ matemáticas] pero en ningún otro lado.

Answer 2

Creo que esto es algo similar a la respuesta de Siddarth, dicho de manera un poco diferente. Piense en una función definida en el plano complejo, como [math] f (z) = \ frac {1} {1-z} [/ math], o su contraparte real, [math] f (x) = \ frac { 1} {1-x} [/ matemáticas]. Estos son diferenciables (o analíticos) en todos los puntos menos uno.

Si piensa en el dominio de [matemáticas] f (z) [/ matemáticas], es un plano con un solo punto faltante, en z = 1. Ahora, lo que pasa con las series de Taylor es que por la forma en que son definidos, siempre convergerán en un disco abierto, o en el caso real, un intervalo abierto. Este círculo se deriva de la definición de convergencia absoluta. Este disco puede tener radio cero, finito o infinito.

Ahora el problema se vuelve, simplemente no puede cubrir el plano perforado con un solo disco. La forma del dominio lo obstruye. El dominio solo se puede cubrir parcheando múltiples expansiones de Taylor centradas en diferentes puntos *. La lógica es la misma en la línea real: no puede cubrir una línea perforada con un solo intervalo.

* Esta es una continuación analítica, útil para estudiar la función zeta de Riemann.

Answer 3

Primero proporcionaré una respuesta intuitiva, informal, no técnica y luego daré la razón técnica que proviene del análisis complejo. La respuesta no técnica no asume el conocimiento del análisis complejo, pero la teoría de la serie Taylor es realmente la teoría del complejo las funciones analíticas y las implicaciones más profundas de la serie Taylor se entienden mejor desde esa perspectiva.

Una serie Taylor siempre está centrada en algún punto a (que puede considerarse como un número real si no ha realizado un análisis complejo, pero también puede ser cualquier número complejo). El radio de convergencia de una serie de Taylor, si no es cero, es el valor más pequeño r de tal manera que existe un punto a una distancia r de a en el que f explota o se comporta mal.

(En términos técnicos, comportarse mal significa que la función no es analítica en ese punto. Sin embargo, las funciones más comunes que tienen un radio finito de la Serie Taylor son algo llamado funciones meromórficas que realmente explotan hasta el infinito en los puntos donde se comportan mal).

La clave aquí es este concepto de un punto en el que la serie Taylor explota. Una vez que ha explotado, la serie Taylor pierde toda precisión y, básicamente, no puede medir, con precisión, el valor de la función en puntos a mayor distancia. Un argumento informal detrás de por qué la Serie Taylor no puede aproximar la función se puede ver al observar la fórmula para el término de error en la aproximación polinómica de Taylor: en esta fórmula, el error en la aproximación de Taylor de enésimo grado (centrado en a) para [ matemáticas] f (x) [/ matemáticas] está delimitado por
[matemáticas] \ max_ {y \ in (a, x)} \ frac {f ^ {(n + 1)} (y)} {(n + 1)!} | x – a | [/ math]
y si la función explota en algún punto entre a y x, también lo harán sus derivadas y, por lo tanto, el límite superior del término de error también explotará.

Hagamos un ejemplo en el caso real para hacer las cosas más concretas. Considere la función [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]. La serie Taylor de esta función centrada en 0 es la conocida serie geométrica: [math] \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {i} [/ math]. Ahora, si truncamos la serie en n términos, la suma es [matemática] \ frac {x ^ {n + 1} – 1} {x – 1} [/ matemática]. Esta secuencia de sumas parciales converge si y solo si [matemática] -1

Sin embargo, la función está definida en todas partes excepto [matemática] x = 1. [/ matemática] La razón por la cual la función puede definirse más allá de 1 pero la serie Taylor no converge es que [matemática] f [/ matemática] explota en 1 .

Aquí hay una breve respuesta formal para su pregunta: las series de Taylor son equivalentes a funciones analíticas complejas. Si una función compleja es analítica en el punto a, entonces tiene una representación de la serie Taylor en un radio r distinto de cero alrededor de a, y este radio es el valor más pequeño de modo que existe un punto a la distancia r en el que la función no es analítica. Sin embargo, la función puede ser analítica en muchos puntos después de esa distancia, si lo desea, aún no será dada por una Serie Taylor centrada en a. Sin embargo, existe la teoría de las funciones meromórficas que tienen polos en los que explota la función. En este caso, la función está representada por una serie Laurent (piense en la serie Taylor pero también con poderes negativos de xa) en puntos más alejados de a que el polo más cercano.

Answer 4

Para complementar las otras respuestas aquí, déjame decirte que creo que tu problema puede ser que realmente no entiendes qué es una función.

Digamos que tiene una función que no está definida en alguna parte. Elija cualquier número y defínalo como ese número en ese lugar. Ahora tiene otra función, con la misma serie de Taylor , que se define allí. (Al menos suponiendo que tuviera una serie de Taylor en primer lugar, pero si no, la pregunta no tiene sentido).

Entonces, dado que siempre podemos reemplazar una función con otra función que se define en todas partes, su pregunta se reduce a “¿Por qué una serie de Taylor no siempre converge en todas partes?” Y espero que la respuesta a eso sea clara.