Si el límite de [matemáticas] \ frac {1} {n} [/ matemáticas] a medida que [matemáticas] n [/ matemáticas] se acerca al infinito es [matemáticas] 0 [/ matemáticas], entonces no debería la suma infinita de [matemáticas ] \ frac {1} {n} [/ math] ser convergente por la prueba de divergencia?

Answer 1

Compare las siguientes oraciones:

1. Si la alarma no suena, no despertaré.
2. Si suena el despertador, me despertaré.

¿Son equivalentes? Si eres un ávido usuario del botón de repetición, entonces claramente la respuesta es no. Si la alarma no suena, ciertamente no lo despertará (1 es VERDADERO), pero si suena, simplemente presionará el botón de repetición y volverá a dormir (2 es FALSO).

Técnicamente, decimos que un despertador sonando es necesario para despertarlo, pero insuficiente para garantizarlo. Necesita un despertador sonando, pero un despertador sonando por sí solo no es suficiente.

La prueba de divergencia dice que:

Si el límite de un [n] no es cero, o no existe, entonces la suma diverge

Pero esto no es lo mismo que:

Si el límite de a [n] es cero, entonces la suma converge .

La diferencia es idéntica a lo que sucede con el despertador y su vigilia. Un límite de cero es necesario para una suma convergente (lo necesita), pero no es suficiente (tener un límite de cero solo no garantiza la convergencia).

Answer 2

Como todos los otros carteles han señalado hábilmente, la prueba de divergencia solo dice que si el límite de los términos individuales NO es 0, la suma de los términos no puede converger; no aborda el caso cuando el límite de los términos individuales ES 0.

Eso solo podría responder a su pregunta, pero debemos agregar que en el caso específico sobre el que preguntó, es sencillo verificar que
[matemática] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ cdots [/ math] no puede ser una suma convergente, por lo que la prueba de divergencia fue MEJOR No digo nada sobre ese caso.

Hay varias formas de mostrar que esta serie no converge, pero quizás la más simple es observar que
[matemáticas] \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4}> \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8}>
\ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {9} + \ frac {1} {10} + \ cdots + \ frac {1} {16}>
\ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ cdots + \ frac {1} {16} = \ frac {1} {2} [/ math]
etc.

De hecho, para todos [math] n \ geq 1 [/ math], podemos ver que
[matemáticas] \ frac {1} {2 ^ n + 1} + \ frac {1} {2 ^ n + 2} + \ cdots + \ frac {1} {2 ^ {n + 1}}> \ frac { 1} {2} [/ matemáticas]
ya que cada término en el lado izquierdo es mayor que
[math] \ frac {1} {2 ^ {n + 1}} [/ math] y si sumas [math] 2 ^ n [/ math] copias de eso, obtienes [math] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Entonces, la suma finita [matemáticas] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ cdots + \ frac {1} {2 ^ {n + 1} }[/matemáticas]
debe ser mayor que
[matemáticas] 1 + \ frac {1} {2} + n \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {n + 3} {2} [/ matemáticas].

Answer 3

Simplemente agregando a la respuesta de David Joyce, en lógica matemática, para las declaraciones lógicas [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas], la declaración inversa de [matemáticas] p \ a q [/ matemáticas] puede no ser cierto.

[math] p \ to q [/ math] no significa [math] \ neg p \ to \ neg q [/ math].

Sin embargo, el contrapositivo es verdadero, es decir, [math] \ neg q \ to \ neg p [/ math].

Answer 4

La “prueba de divergencia” se declara como

Si los términos de una serie no se acercan a 0, entonces la serie diverge.

No dice

Si los términos de una serie se acercan a 0, entonces la serie converge.

La respuesta a tu pregunta es no.

Answer 5

No. Si una serie es convergente, sus términos se aproximan a cero, pero el hecho de que los términos de una serie se acerquen a cero no significa que sea convergente. En general, cuando tiene una declaración de la forma “Si P, entonces Q” y sabe que Q es verdadero, no puede concluir nada sobre P.

Answer 6

No. La prueba de divergencia dice que si una serie es convergente, el enésimo término va a cero. Lo contrario no es cierto. De hecho, Sigma 1 / n es uno de los principales contraejemplos.