Comencemos con tu ejemplo.
[matemáticas] 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots = \ infty [/ math].
De hecho, esto diverge bastante lentamente: debe agregar más de doce mil de estos números solo para ver que la suma excede 10 .
Por supuesto, puedes hacerlo mejor:
- ¿Cuál es la forma más eficiente de enumerar todos los números racionales?
- Si el límite de [matemáticas] \ frac {1} {n} [/ matemáticas] a medida que [matemáticas] n [/ matemáticas] se acerca al infinito es [matemáticas] 0 [/ matemáticas], entonces no debería la suma infinita de [matemáticas ] \ frac {1} {n} [/ math] ser convergente por la prueba de divergencia?
- ¿Cómo podría uno encontrar si esto es convergente o divergente: [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {n + 5} {\ sqrt [3] {n ^ 7 + n ^ 2}} [ /matemáticas]
- ¿Por qué una serie de Taylor para [math] f [/ math] no converge en todas partes [math] f [/ math] está definida?
- ¿Por qué convergen las series [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sqrt {n + 1} – \ sqrt {n}} {n} [/ math]?
[matemáticas] \ frac {1} {10} + \ frac {1} {20} + \ frac {1} {30} + \ ldots = \ infty [/ math].
Obviamente, esto diverge “más lentamente”, en el sentido de que después de doce mil elementos su suma simplemente llega a un mísero 1 . Y no hace falta decir que puedes llevar esto tan lejos como quieras, como en
[matemáticas] \ frac {1} {1,000} + \ frac {1} {2,000} + \ frac {1} {3,000} + \ ldots = \ infty [/ math].
Por un lado, esto parece crecer más lentamente, pero realmente, la tasa de crecimiento sigue siendo del mismo tipo (logarítmica). Solo la constante es diferente.
Hasta ahora hemos ampliado los denominadores multiplicándolos todos por 10, o por 1,000, y podemos continuar y multiplicarlos por 1,000,000,000 o lo que sea. ¿Qué pasaría si multiplicamos los denominadores por algo que en sí mismo crece hasta el infinito ? Lo más natural es intentar reemplazar [matemática] \ frac {1} {n} [/ matemática] con [matemática] \ frac {1} {n ^ 2} [/ matemática], pero por supuesto eso cruza la línea y obtenemos una serie convergente:
[matemáticas] \ sum \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} <\ infty [/ math].
Así que tratemos de ir un poco más suavemente y multiplique los denominadores por [math] \ log (n) [/ math] en lugar de [math] n [/ math].
[matemáticas] \ sum \ frac {1} {n \ log (n)} = \ infty [/ math].
¡Funcionó! Ahora tenemos una serie de convergencia mucho más lenta que la original: hicimos los denominadores más grandes no por un factor constante, sino por un factor que crece sin límite. En lugar de una tasa de crecimiento logarítmica, esta serie exhibe una tasa de crecimiento log-log : para pasar de 10, en lugar de elementos [math] e ^ {10} [/ math], necesitará [math] e ^ {e ^ ¡{10}} [/ math] elementos! Los primeros 12,000 elementos de esta serie lo llevan a aproximadamente 3, pero los primeros 120,000 elementos solo mejoran esto a aproximadamente 3.25, y los primeros 1,200,000 elementos lo llevan a un enorme 3.43 .
(Por cierto, si no está seguro de cómo demostrar la divergencia de esta última serie, la forma más fácil de hacerlo es con una prueba súper genial y fácil de visualizar llamada prueba de condensación de Cauchy. Esa misma prueba le permitirá comprender todas las series que mencionaré en esta respuesta, tanto divergentes como convergentes).
La última serie que tenemos está muy cerca de ser convergente: un pequeño cambio y pierde fuerza y converge:
[matemáticas] \ sum \ frac {1} {n \ log ^ 2 (n)} <\ infty [/ math].
Pero aún podemos mejorar. Aquí hay una serie de divergencia aún más lenta, que en realidad apenas lo está logrando:
[matemáticas] \ sum \ frac {1} {n \ log (n) \ log \ log (n)} = \ infty [/ math].
Esto es realmente sorprendente, ya que multiplicar el denominador por solo otro pequeño factor de [math] \ log (\ log (n)) [/ math] cambia todo:
[matemáticas] \ sum \ frac {1} {n \ log (n) \ log \ log ^ 2 (n)} <\ infty [/ math].
Probablemente pueda ver hacia dónde va esto: puede seguir creando series cada vez más lentas, cuya tasa de divergencia es asombrosamente lenta.
Este es el ejemplo estándar de series convergentes / divergentes que se utiliza para mostrar que no existe una simple “línea divisoria” entre las regiones convergentes y divergentes: ninguna prueba de comparación simple con una sola función mágica puede hacerle saber qué diverge y qué no t.
Un fastidio para estudiantes de cálculo.
Nota: Anon sugirió la suma de los recíprocos de primos como otro buen ejemplo de una serie lentamente divergente. En términos de lentitud, en realidad es tan lento como un log-log, que es el segundo ejemplo en nuestra secuencia infinita de ejemplos.
EDITAR: Obviamente, hay muchas otras formas de hacer que una serie divergente diverja más lentamente, simplemente estaba sugiriendo uno de esos enfoques. Como señaló Tom Davis, también puede insertar bloques grandes y crecientes de 0 entre elementos consecutivos de una serie sin afectar su estado de convergencia, pero afectando la velocidad.
Entonces ln (2) = 1/2 ln2!