¿Cuál es la relación entre la transformación de Fourier y la representación en serie de Fourier de una función continua?

Answer 1

Una forma de pensar cómo se relacionan: las series de Fourier pueden representar cualquier función periódica “razonable” como una suma de sinusoides. Cada sinusoide de la serie se define de modo que el número de ciclos en el período de la función que representa es un número entero.

Si tiene una función “razonable” que no es periódica, puede pensar que es “periódica” con un período infinito. La transformada de Fourier es un análogo de la serie de Fourier para funciones “periódicas” con período infinito.

Puede derivar la transformación de Fourier de una manera consistente con esa intuición. Usted escribe la serie de Fourier para un intervalo de cierta longitud, donde esa longitud es el período de las funciones que la serie puede representar. Asume que la longitud llega al infinito, es decir, el período de las funciones representables “se vuelve infinito”. Puede mostrar que esto converge a la transformación de Fourier.

Answer 2

“¿Cómo convierto una distribución sobre el conjunto de bases continuas, en una suma de funciones de bases discretas?”

Simplemente muestree la transformada de Fourier de la señal no periódica a la frecuencia de la onda periódica que desea crear. Los coeficientes resultantes formarán los coeficientes de la serie de Fourier de la forma de onda periódica que se puede crear repitiendo la señal no periódica, en el eje del tiempo. Esta relación se llama formalmente la fórmula de suma de Poisson .

Answer 3

En resumen, la serie de Fourier es para señales periódicas y la transformación de Fourier es para señales aperiódicas. La serie de Fourier se usa para descomponer señales en elementos básicos (exponenciales complejos), mientras que las transformadas de Fourier se usan para analizar la señal en otro dominio (por ejemplo, de tiempo a frecuencia, o viceversa).