¿Cómo se prueba esto? [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta \ cos ^ {2y-1} \ theta \, d \ theta = \ frac {1} {2} \ frac {\ Gamma {(x)} \ Gamma {(y)}} {\ Gamma {(x + y)}} [/ math]

Answer 1

Tenga en cuenta que esto solo se define cuando [math] Re (x)> 0 [/ math] y [math] Re (y)> 0. [/ Math]

Estos son los pasos (aproximados) para mostrar la identidad:

1. Demuestre que el LHS es [matemática] \ frac {1} {2} B (x, y) [/ matemática] donde B es la función Beta [1]. Puede hacerlo escribiendo [matemáticas] \ sin ^ {2} {x} = 1- \ cos ^ {2} {x} [/ matemáticas] y haciendo el cambio de variable: [matemáticas] u: = \ cos ^ { 2} {\ theta} [/ math].
2. Demuestre que [matemática] \ Gamma (x) \ Gamma (y) [/ matemática] es igual a [matemática] B (x, y) \ Gamma (x + y) [/ matemática] donde [matemática] \ Gamma [/ math] es la función Gamma [2]. Para hacerlo, use el siguiente cambio de variable: [matemática] u = f (z, t) = zt \, \ v = g (z, t) = z (1 – t) [/ matemática] donde [matemática] u [/ math] y [math] v [/ math] son ​​los diferenciales en el producto [math] \ Gamma [/ math]. Para más detalles, verifique esta prueba [3].

Déjeme saber si usted necesita más detalles.

Notas al pie

[1] Función Beta – Wikipedia

[2] Función gamma – Wikipedia

[3] Función Beta – Wikipedia

Answer 2

La prueba de esta pregunta comienza con la definición básica de la función Gamma, que es

[matemáticas] \ Gamma (m) = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- t}. t ^ {m-1} dt [/ matemáticas]

Al suponer [matemáticas] t = x ^ 2 [/ matemáticas], sustituya en la relación anterior.

Haga lo mismo para [math] \ Gamma (n) [/ math], suponiendo que [math] t = y ^ 2 [/ math] en este caso.

Multiplique lo mismo y resuelva de la siguiente manera y obtendrá el resultado deseado.

Recuerde también la propiedad de la función beta: [matemáticas] B (m, n) = B (n, m) [/ matemáticas]

La prueba completa usando las declaraciones anteriores:

Espero que encuentres esto útil 🙂

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Albany.edu- Función Gamma

Función gamma – Wikipedia

Función beta | Wiki Brillante de Matemáticas y Ciencias

Answer 3

* A2A

No está tan mal.

• Comience con la definición integral de la función beta.
• Deberá usar la relación entre la función beta y gamma.

[matemáticas] \ begin {align} B (x, y) & = \ int_0 ^ 1 t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ mathrm dt \\\ text {Let} & t = \ sin ^ 2 \ theta \ implica \ mathrm dt = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ space \ mathrm d \ theta \\ & = \ int_0 ^ {\ frac \ pi2} (\ sin ^ 2 \ theta) ^ {x-1} (1- \ sin ^ 2 \ theta) ^ {y-1} \ cdot2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ space \ mathrm d \ theta \\ & = 2 \ int_0 ^ {\ frac \ pi2} \ sin ^ {2x-1} \ theta \ cos ^ {2y-1} \ theta \ space \ mathrm d \ theta \\\ hline \ text {Since} B (x, y) & = \ dfrac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} \\ 2 \ int_0 ^ {\ frac \ pi2} \ sin ^ {2x-1} \ theta \ cos ^ {2y-1} \ theta \ space \ mathrm d \ theta & = \ dfrac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} \\\ int_0 ^ {\ frac \ pi2} \ sin ^ {2x-1 } \ theta \ cos ^ {2y-1} \ theta \ space \ mathrm d \ theta & = \ dfrac12 \ dfrac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} \ end {align } \ tag * {} [/ math]

Consulte esto, para la prueba de la relación entre la función Beta y Gamma.