Tengo la prueba que necesita aquí: Cómo demostrar rápidamente que [math] \ sqrt {n} [/ math] es irracional a menos que [math] n [/ math] sea un cuadrado perfecto de Alexander Farrugia en Farrugia Maths.
Aquí está la prueba aplicada a esta pregunta.
Considere el polinomio [math] f (x) = x ^ 2-n [/ math], donde [math] n [/ math] es un entero positivo. Entonces [math] \ sqrt {n} [/ math] es una de las raíces de [math] f (x) [/ math]. Suponga que [math] \ sqrt {n} = \ frac {p} {q} [/ math], donde [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son enteros positivos primos, de modo que su mayor factor común es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Notamos que [math] p ^ 2 [/ math] y [math] q [/ math] también deben ser primos (¿por qué?). Tenemos [matemáticas] \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} = n [/ matemáticas], o [matemáticas] p ^ 2 = nq ^ 2 = q (nq) [/ matemáticas]. Esto significa que [math] p ^ 2 [/ math] es divisible por [math] q [/ math]. Como [math] q [/ math] es claramente divisible por [math] q [/ math] también, concluimos que [math] q [/ math] es un factor común de [math] p ^ 2 [/ math] y [matemáticas] q [/ matemáticas]. Pero [math] p ^ 2 [/ math] y [math] q [/ math] son números coprimos, por lo que [math] q [/ math] debe ser [math] 1 [/ math]. Esto implica que [math] \ sqrt {n} = p [/ math]. Acabamos de demostrar que si [math] \ sqrt {n} [/ math] es racional, entonces debe ser un número entero. Claramente [math] \ sqrt {n} [/ math] es un número entero solo cuando [math] n [/ math] es un cuadrado perfecto. En consecuencia, si [math] n [/ math] no es un cuadrado perfecto, entonces [math] \ sqrt {n} [/ math] no es un número entero ni un número racional, concluyendo que debe ser un número irracional.