¿Cómo demuestro que [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} \ cos (k \ theta) = \ frac {1} {2} + \ frac {\ sin ((n + \ frac {1 } {2}) \ theta)} {2 \ sin (\ frac {\ theta} {2})} [/ math]?

Answer 1

Desde el punto de vista de la resolución de problemas, una idea detrás del cálculo de este tipo de sumas es buscar una reorganización o perturbación de sus términos después de lo cual:

• en su mayoría cancelar * o
• se reducen a una suma calculada previamente

Sin recurrir a números complejos y permanecer únicamente con identidades trigonométricas de secundaria:

• recuerde el siguiente producto para sumar uno:

[matemáticas] 2 \ cos \ alpha \ cdot \ sin \ beta = \ sin (\ alpha + \ beta) – \ sin (\ alpha – \ beta) \ tag {1} [/ matemática]

• escriba la suma en cuestión como:

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {k = 0} ^ n \ cos k \ theta = 1 + \ cos \ theta + \ cos 2 \ theta + \ cos 3 \ theta + \ ldots + \ cos n \ theta \ etiqueta {2} [/ math]

Antes de que podamos utilizar ( 1 ), multiplique ambos lados de ( 2 ) por [math] \ sin \ dfrac {\ theta} {2} [/ math]:

[matemáticas] \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ cdot S = \ sin \ dfrac {\ theta} {2} + \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ cdot \ cos \ theta + \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ cdot \ cos 2 \ theta + \ ldots + \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ cdot \ cos n \ theta \ tag {3} [/ math]

• calcule los primeros productos en ( 3 ) usando ( 1 ):

[matemáticas] \ cos \ theta \ sin \ dfrac {\ theta} {2} = \ dfrac {1} {2} \ Big (\ sin \ dfrac {3 \ theta} {2} – \ sin \ dfrac {\ theta } {2} \ Big) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ cos 2 \ theta \ sin \ dfrac {\ theta} {2} = \ dfrac {1} {2} \ Big (\ sin \ dfrac {5 \ theta} {2} – \ sin \ dfrac {3 \ theta} {2} \ Big) \ tag * {} [/ math]

• observe que en todas esas sumas, los términos del noroeste arriba y los términos del sudeste a continuación, como [matemáticas] \ sin \ frac {3 \ theta} {2} [/ matemáticas], se cancelarán: justo lo que quería
• concluir que toda la suma [matemática] S [/ matemática] colapsará en:

[matemáticas] \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ cdot S = \ sin \ dfrac {\ theta} {2} + \ dfrac {1} {2} \ Big (\ sin \ dfrac {(2n + 1 ) \ theta} {2} – \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ Big) \ tag * {} [/ math]

o:

[matemáticas] \ sin \ dfrac {\ theta} {2} \ cdot S = \ dfrac {1} {2} \ sin \ dfrac {\ theta} {2} + \ dfrac {1} {2} \ sin \ dfrac {(2n + 1) \ theta} {2} \ tag {4} [/ math]

• divide ambos lados de ( 4 ) por [math] \ sin \ dfrac {\ theta} {2} [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {k = 0} ^ n \ cos (k \ theta) = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sin \ dfrac {2n + 1} {2} \ theta } {2 \ sin \ dfrac {\ theta} {2}} \ tag * {} [/ math]

lo que se requería para probar.

Si cree que entendió cómo funciona este enfoque, vea si puede deducir las sumas relacionadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ sin k \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ sin (2k-1) \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ cos (2k-1) \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ sin 2k \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ cos 2k \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

(* estos tipos de sumas se llaman telescópicas . Aquí hay algunos ejemplos más:

• productos inversos de números naturales consecutivos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ dfrac {1} {i (i + 1)} \ tag * {} [/ matemáticas]

• productos inversos de números impares consecutivos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ dfrac {1} {(2i-1) (2i + 1)} \ tag * {} [/ matemáticas]

• productos inversos de números pares consecutivos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ dfrac {1} {2i (2i + 2)} \ tag * {} [/ matemáticas]

Trata de averiguarlo, ¿por qué?)

Answer 2

Deje que [matemática] C = \ sum_ {k = 0} ^ n {\ cos {k \ theta}} [/ matemática] y [matemática] S = \ sum_ {k = 0} ^ n {\ sin {k \ theta }}[/matemáticas]. Podemos usar las series geométricas en el dominio complejo:

[matemática] \ renovarcomando {\ i} {\ matemática {i}} C + \ i S [/ matemática]

[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ n {e ^ {\ ik \ theta}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1-e ^ {\ i (n + 1) \ theta}} {1-e ^ {\ i \ theta}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1- \ cos (n \ theta + \ theta) – \ i \ sin (n \ theta + \ theta)} {1- \ cos \ theta- \ i \ sin \ theta}. [/ math ]

Multiplicando por el denominador,

[matemáticas] [1]: (C + \ i S) (1- \ cos \ theta- \ i \ sin \ theta) = 1- \ cos (n \ theta + \ theta) – \ i \ sin (n \ theta + \ theta). [/ matemáticas]

Coincidencia de componentes reales en [1],

[matemáticas] C (1- \ cos \ theta) + S (\ sin \ theta) = 1- \ cos (n \ theta + \ theta). [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] [2]: S = \ dfrac {1- \ cos (n \ theta + \ theta) -C (1- \ cos \ theta)} {\ sin \ theta}. [/ math]

Coincidencia de componentes imaginarios en [1],

[matemáticas] [3]: -C \ sin \ theta + S (1- \ cos \ theta) = – \ sin (n \ theta + \ theta). [/ math]

Al conectar el lado derecho de [2] a [math] S [/ math] en [3] y resolver para [math] C [/ math], tenemos

[matemáticas] C = \ dfrac {(1- \ cos \ theta) (1- \ cos (n \ theta + \ theta)) + \ sin (n \ theta + \ theta) \ cdot \ sin \ theta} {2 (1 – \ cos \ theta)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {- \ cos (n \ theta + \ theta) + \ cos (n \ theta + \ theta) \ cdot \ cos \ theta + \ sin (n \ theta + \ theta ) \ cdot \ sin \ theta} {2 ((\ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2} + \ cos ^ 2 \ frac {\ theta} {2}) – (\ cos ^ 2 \ frac {\ theta} {2} – \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}))} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {- \ cos (n \ theta + \ theta) + \ cos (n \ theta)} {4 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2} }[/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {- \ cos ((n + \ frac {1} {2}) \ theta + \ frac {\ theta} {2}) + \ cos ((n + \ frac {1} {2}) \ theta- \ frac {\ theta} {2})} {4 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2 \ sin ((n + \ frac {1} {2}) \ theta) \ cdot \ sin \ frac {\ theta} {2}} {4 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sin ((n + \ frac {1} {2}) \ theta)} {2 \ sin \ frac {\ theta} {2}}. [ /matemáticas]

Answer 3

Por conveniencia, resolvemos esto con [matemáticas] 2 \ theta [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] n [/ matemáticas] .

[matemáticas] S: = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ text {cis} (2k \ theta) = \ dfrac {1- \ text {cis} (2n \ theta)} {1- \ texto {cis} (2 \ theta)} [/ math]

Luego multiplicamos / dividimos por el conjugado del denominador para realizar la división

[matemáticas] S = \ dfrac {(1- \ text {cis} (2n \ theta)) (1- \ text {cis} (- 2 \ theta))} {(1- \ cos (2 \ theta)) ^ 2 + \ sin ^ 2 (2 \ theta)} = \ dfrac {(1- \ text {cis} (2n \ theta)) (1- \ text {cis} (- 2 \ theta))} {2- 2 \ cos (2 \ theta)} [/ math].

Finalmente, la parte real es

[matemáticas] S = \ dfrac {(1- \ cos (2n \ theta)) (1- \ cos (2 \ theta)) + \ sin (2n \ theta) \ sin (2 \ theta)} {4 \ sin ^ 2 (\ theta)} = \ dfrac {(1- \ cos (2n \ theta)) \ sin ^ 2 (\ theta) + \ sin (2n \ theta) 2 \ sin (\ theta) \ cos (\ theta )} {4 \ sin ^ 2 (\ theta)} = \ dfrac {(1- \ cos (2n \ theta)) \ sin (\ theta) + \ sin (2n \ theta) \ cos (\ theta)} { 2 \ sin (\ theta)} = \ dfrac {\ sin (\ theta) + \ sin ((2n-1) \ theta)} {2 \ sin (\ theta)} [/ math]