¿Puedo resolver [matemáticas] \ frac {4 \ cos ^ 2 (20)} {\ sin ^ 2 (20)} + \ frac {1} {16 \ sin ^ 2 (10) \ sin ^ 2 (20) \ cos ^ 2 (20)} – \ frac {\ cos (20)} {\ sin (10) \ sin ^ 2 (20)} [/ math] sin una calculadora?

No es tan malo. En primer lugar, al usar la fórmula de doble ángulo repetidamente puede simplificar el segundo término como (estoy trabajando en grados pero no estoy escribiendo todos los círculos pequeños)

[matemáticas] \ frac 1 {4 {\ rm sin ^ 2} (10) {\ rm sin ^ 2} (40)} = \ frac {{\ rm cos ^ 2} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (10) {\ rm sin ^ 2} (80)} = \ frac {{\ rm cos ^ 2} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (10) {\ rm cos ^ 2} ( 10)} = \ frac {4 {\ rm cos ^ 2} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (20)}. [/matemáticas]

La suma de los términos primero y tercero puede simplificarse mediante el uso de fórmulas para los productos de las funciones trigonométricas en términos de suma y diferencia de ángulos

[matemáticas] \ frac {{\ rm cos} (20) (4 {\ rm cos} (20) {\ rm sin} (10) -1)} {{\ rm sin} (10) {\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {{\ rm cos} (20) (2 {\ rm sin} (30) – 2 {\ rm sin} (10) -1)} {{\ \ rm sin} (10 ) {\ rm sin ^ 2} (20)} = – \ frac {2 {\ rm cos} (20) {\ rm sin} (10)} {{\ rm sin} (10) {\ rm sin ^ 2 } (20)} = – \ frac {2 {\ rm cos} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)}. [/ Math]

Poniéndolo todo junto, obtienes

[matemáticas] \ frac {4 {\ rm cos ^ 2} (40) -2 {\ rm cos} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {2 {\ rm cos} (80) + 2-2 {\ rm cos} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {2-4 {\ rm sin} (50) {\ rm sin} (30 )} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {2-2 {\ rm cos} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {4 {\ rm sin ^ 2} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = 4. [/ matemáticas]

Puede haber algunas mejores soluciones por ahí …

[math] \ newcommand {\ deg} {^ {\ circ}} [/ math] El uso de una calculadora para evaluar esto en grados da la respuesta exacta [math] 4 [/ math], pero el uso de radianes lo evalúa en aproximadamente [math ] 3.2207 [/ matemáticas]. Esto significa que la respuesta se basa en los valores de las identidades trigonométricas. [math] \ sin (10 \ deg) [/ math], [math] \ sin (20 \ deg) [/ math] y [math] \ cos (20 \ deg) [/ math] son ​​extremadamente difíciles de encontrar a mano, por lo que la respuesta corta sería no, no es factible resolver [matemáticas] \ frac {4 \ cos ^ 2 (20 \ deg)} {\ sin ^ 2 (20 \ deg)} + \ frac {1 } {16 \ sin ^ 2 (10 \ deg) \ sin ^ 2 (20 \ deg) \ cos ^ 2 (20 \ deg)} – \ frac {\ cos (20 \ deg)} {\ sin (10 \ deg ) \ sin ^ 2 (20 \ deg)} [/ math] a mano. Tal vez se pueda hacer, pero literalmente no tiene sentido.