No es tan malo. En primer lugar, al usar la fórmula de doble ángulo repetidamente puede simplificar el segundo término como (estoy trabajando en grados pero no estoy escribiendo todos los círculos pequeños)
[matemáticas] \ frac 1 {4 {\ rm sin ^ 2} (10) {\ rm sin ^ 2} (40)} = \ frac {{\ rm cos ^ 2} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (10) {\ rm sin ^ 2} (80)} = \ frac {{\ rm cos ^ 2} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (10) {\ rm cos ^ 2} ( 10)} = \ frac {4 {\ rm cos ^ 2} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (20)}. [/matemáticas]
La suma de los términos primero y tercero puede simplificarse mediante el uso de fórmulas para los productos de las funciones trigonométricas en términos de suma y diferencia de ángulos
[matemáticas] \ frac {{\ rm cos} (20) (4 {\ rm cos} (20) {\ rm sin} (10) -1)} {{\ rm sin} (10) {\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {{\ rm cos} (20) (2 {\ rm sin} (30) – 2 {\ rm sin} (10) -1)} {{\ \ rm sin} (10 ) {\ rm sin ^ 2} (20)} = – \ frac {2 {\ rm cos} (20) {\ rm sin} (10)} {{\ rm sin} (10) {\ rm sin ^ 2 } (20)} = – \ frac {2 {\ rm cos} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)}. [/ Math]
- ¿Cómo se prueba la identidad senoidal de doble ángulo, [matemática] \ sin (2 \ alpha) = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha [/ matemática]?
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Poniéndolo todo junto, obtienes
[matemáticas] \ frac {4 {\ rm cos ^ 2} (40) -2 {\ rm cos} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {2 {\ rm cos} (80) + 2-2 {\ rm cos} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {2-4 {\ rm sin} (50) {\ rm sin} (30 )} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {2-2 {\ rm cos} (40)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = \ frac {4 {\ rm sin ^ 2} (20)} {{\ rm sin ^ 2} (20)} = 4. [/ matemáticas]
Puede haber algunas mejores soluciones por ahí …