Vale la pena señalar que si bien puede encontrar la respuesta ([matemática] 10 / f [/ matemática], como señaló Gregory A. Lussier) al simplificar los cálculos parciales particulares que ya se proporcionan en la pregunta, también hay un (en mi opinión, mucho más limpio) forma “libre de coordenadas” para derivar esto.
Específicamente, la suma de las segundas derivadas parciales (no mezcladas) de una función es la misma que la divergencia de su gradiente (como sucede, también se le da el nombre rápido “Laplaciano”). Además, tenga en cuenta que, en términos del vector 3d [matemáticas] v = \ langle x, y, z \ rangle [/ matemáticas], tenemos que [matemáticas] f (v) = \ sqrt {5} | v | [ /matemáticas]. En realidad, para simplificar la vida, ignoremos [math] \ sqrt {5} [/ math] y solucionemos el problema de [math] g (v) = | v | [/ math] primero; entonces podemos recuperar los resultados para [math] f [/ math] con bastante facilidad.
El gradiente es bastante fácil; para [matemática] v [/ matemática] distinta de cero, la derivada direccional de [matemática] | v | [/ matemática] a medida que uno se mueve en la dirección del vector unitario [matemática] d [/ matemática] es el componente (escalar) de [matemáticas] d [/ matemáticas] en la dirección de [matemáticas] v [/ matemáticas]; también conocido como [math] \ mathrm {sgn} (v) \ cdot d [/ math], donde [math] \ mathrm {sgn} (v) = v / | v | [/ math] es el vector unitario en la dirección de [matemáticas] v [/ matemáticas]. Es decir, el gradiente de [math] | v | [/ math] es [math] \ mathrm {sgn} (v) [/ math].
Ahora, tenemos que encontrar la divergencia de [math] \ mathrm {sgn} (v) [/ math]; para esto, podemos usar la regla del cociente, que equivale al uso adecuado de la regla del producto: sabemos en primer lugar que la divergencia de la función de identidad [math] v [/ math] es igual al número de dimensiones que uno está trabajando en (en nuestro caso, 3), ya que cada variable aporta 1. Pero también podemos volver a expresar [matemáticas] v [/ matemáticas] como [matemáticas] | v | \ mathrm {sgn} (v) [/ math], y vuelva a calcular esta misma divergencia usando la regla del producto; eso nos dice [matemáticas] 3 = \ mathrm {grad} (| v |) \ cdot \ mathrm {sgn} (v) + | v | \ mathrm {div} (\ mathrm {sgn} (v)) [/ math].
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Como vimos antes, [math] \ mathrm {grad} (| v |) = \ mathrm {sgn} (v) [/ math] y, como se trata de un vector unitario, tenemos que [math] \ mathrm { sgn} (v) \ cdot \ mathrm {sgn} (v) = 1 [/ math]. Por lo tanto, tenemos que [matemáticas] 3 = 1 + | v | \ mathrm {div} (\ mathrm {sgn} (v)) [/ math], es decir [math] \ mathrm {div} (\ mathrm {sgn} (v)) = 2 / | v | [/ math], que es la cantidad que estábamos buscando, la divergencia del gradiente de [math] g (v) = | v | [/ math]. Es decir, para [matemáticas] g [/ matemáticas], su Laplaciano es [matemáticas] 2 / g [/ matemáticas].
Lo cual está muy bien, pero ahora necesitamos traducirlo en términos de [math] f [/ math] en su lugar. Bueno, como [math] f = \ sqrt {5} g [/ math], el laplaciano de [math] f [/ math] es [math] \ sqrt {5} [/ math] veces el laplaciano de [math] g [/ math], y por lo tanto igual a [math] 2 \ sqrt {5} / g [/ math], que, con la sustitución [math] g = f / \ sqrt {5} [/ math], se ve ser [matemáticas] 10 / f [/ matemáticas].
(Esto puede parecer bastante laborioso, escrito pedagógicamente de esta manera, pero una vez que te sientas cómodo con este tipo de cálculo sin coordenadas, puede ser muy eficiente)