¿Existe una explicación intuitiva de por qué la diferenciación es mucho más fácil que la integración?

Answer 1

Bueno, en realidad no quiere decir que sea más fácil integrar que diferenciar. De hecho, la clase de funciones integrables es mucho, mucho más grande que la clase de funciones diferenciables. Por ejemplo, puede integrar cualquier función continua, pero casi ninguna función continua es diferenciable.

Entonces, de lo que realmente estás hablando es de tomar una función dada por una fórmula de algún tipo , y obtener una fórmula para su integral o derivada. Esto no es realmente una pregunta sobre cálculo en absoluto; más bien, se trata de álgebra (abstracta). Y la respuesta es algo decepcionante.

Cuando hablamos de una fórmula, estamos hablando de comenzar desde una colección de funciones básicas, por ejemplo, e ^ x, ln (x), sin (x), etc., y combinarlas de acuerdo con alguna colección de reglas, por ejemplo , suma, composición, multiplicación, etc. Resulta que esta clase de fórmulas se cierra al tomar derivados.

Sin embargo, aquí está la cosa: desde un punto de vista analítico, composición de funciones
[matemáticas] (f \ circ g) (t) = f (g (t)) [/ matemáticas]
no es más “natural” que la operación
[matemáticas] (f \; \ cuadrado \; g) (t) = \ int _ {- \ infty} ^ tf (x) g (x) \, dx. [/ matemáticas]
Si permitiéramos este tipo de operación en nuestras fórmulas, entonces sería tan fácil obtener fórmulas para integrales de fórmulas como lo es actualmente obtener fórmulas para derivadas de fórmulas.

Entonces, básicamente, es más fácil tomar derivados porque lo hicimos a través de nuestras elecciones, que son completamente arbitrarias desde el punto de vista del análisis.

EDITAR: Puede ser posible caracterizar ciertas funciones y ciertas operaciones combinando funciones mediante diversas condiciones computacionales, y luego dar algún sentido a lo que significa una “fórmula”. Arreglaría algunas funciones crecientes fyg, y luego requeriría que sus “funciones elementales” se puedan calcular dentro de [math] \ varepsilon [/ math] usando [math] O (f (1 / \ varepsilon)) [/ matemática] tiempo y [matemática] O (g (1 / \ varepsilon)) [/ matemática] espacio, y de manera similar para sus operaciones combinadas cuando se aplica a funciones elementales válidas de esta forma.

Esto llevaría a (supongo) una interacción extremadamente compleja entre análisis, teoría de la información, combinatoria y álgebra, que bien puede contener un teorema que dice que, bajo ciertas condiciones, la diferenciación formal es más fácil que la integración formal. Si este fuera el caso, probablemente sería porque (1) la composición de funciones ciertamente caería en la categoría de formas agradables de combinar funciones, (2) la regla de la cadena reduce los derivados de composiciones a productos y composiciones de derivados y las funciones originales , y (3) la imagen para la integración no parece ser tan simple.

Pero tenga en cuenta que aparece la palabra: podría ser, por ejemplo, que hay una manera completamente objetable de combinar dos funciones que es tan difícil de diferenciar formalmente como la operación de composición es integrar formalmente. También podría ser que el problema con la integración de una composición de funciones se pueda solucionar en este contexto.

(Benjamin Golub y Quora User son responsables de mostrarme algunas de estas ideas).

EDIT 2: Las partes interesadas pueden desear leer el prefacio de “La integración de funciones de una sola variable” de GH Hardy. Más partes interesadas pueden desear leer el libro completo. Está disponible para descargar desde el Proyecto Gutenberg:

http://www.gutenberg.org/ebooks/…

Answer 2

La diferenciación es en realidad una operación mucho más restringida que la integración. De hecho, una función que es acotada y continua en casi todas partes (y, por lo tanto, puede tener un número infinito de discontinuidades) en un intervalo compacto sigue siendo integrable de Riemann. Pero ciertamente no necesita ser diferenciable en todo el intervalo o incluso en cualquier lugar (por ejemplo, la función Weierstrass).

Answer 3

Suponiendo que está hablando de diferenciación simbólica e integración simbólica, hay varias razones principales que señalaría.

1. La regla del producto para la diferenciación es difícil de deshacer.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} uv = \ frac {du} {dx} v + u \ frac {dv} {dx} [/ matemáticas]

La regla del producto convierte un término en dos términos. Para “deshacer” esta regla ingenuamente, necesita encontrar dos términos y convertirlos en uno. Pero en la práctica, la forma en que te enseñan en la escuela secundaria a “deshacer” esta regla es la integración por partes, sin embargo …

2. La integración simbólica se enseña mal.

Existen sistemas de álgebra computacional (por ejemplo, Mathematica) que realizan integración simbólica. Resulta que casi nunca usan la integración por partes, porque es muy difícil de aplicar de manera sistemática. Los sistemas de álgebra computacional usan el método Risch, o el método de la mayoría de las formas generales. He escrito sobre esto en el pasado aquí, si estás interesado en esto: ¿Qué área de la corriente principal en matemáticas te sorprende al no ser enseñado más ampliamente? Esto podría ser un subcampo completo de matemáticas, o simplemente algún tipo de truco (s), o nuevas anotaciones que encuentre útiles que no forman parte de ningún plan de estudios importante (en cualquier nivel).

Pero también, hay algunos errores básicos que utilizan casi todos los libros de texto que hacen que la integración parezca mucho más difícil de lo que es. Por ejemplo, si eres como yo, probablemente te enseñaron esto.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ tan x = \ sec ^ 2 x [/ matemáticas]

¿Por qué no te enseñaron esto en su lugar?

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ tan x = 1 + \ tan ^ 2 x [/ matemáticas]

Parece un poco más complejo, es cierto. Pero la ventaja de expresar la derivada de tan en términos de tan es que la integral de las funciones que involucran tan puede calcularse más fácilmente en términos de funciones que involucran tan. De hecho, la regla habitual para integrar polinomios en [math] x [/ math] se puede generalizar muy claramente a polinomios integradores en [math] \ tan x [/ math].

La integración se enseña como un procedimiento de búsqueda de prueba y error, pero de hecho es casi completamente sistemática en el sentido de que, sujeto a una serie de advertencias técnicas, si existe una integral elemental, conocemos un procedimiento para encontrarla, y no hay un elemento elemental. existe integral, sabemos cómo demostrarlo.

3. Integración y anti-diferenciación no son lo mismo.

Una antiderivada de una función f es una función g tal que g ‘= f. El teorema fundamental del cálculo establece que la derivada de una integral es la misma función, pero lo contrario no es cierto.

El ejemplo obvio es la constante aditiva que necesita agregar a cualquier integral, pero también hay otras “trampas”. Por ejemplo, considere:

[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

“Sabemos” que su integral es:

[matemáticas] f (x) = – \ frac {1} {x} + C [/ matemáticas]

Pero en realidad, hay una discontinuidad en [math] x = 0 [/ math], por lo que esta función también es una antiderivada perfectamente válida:

[matemáticas] f (x) = – \ frac {1} {x} + 1, x <0 [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ frac {1} {x} + 42, x> 0 [/ matemáticas]

En general, puede haber muchos antiderivados de la misma función que no solo difieren en una constante aditiva.

Pero en realidad, este ejemplo es un caso especial de un problema más general.

4. La diferenciación ocurre en un solo punto, pero la integración ocurre en un continuo.

Esta es, creo, la parte difícil real. Cuando tomas una derivada, estás hablando del comportamiento de la función en un solo punto. Cuando tomas una integral definida, estás hablando del comportamiento de la función durante un intervalo.

Cuando se extiende a integrales sobre el plano complejo, ya no hay “intervalo”; es un camino (llamado “contorno”), y el camino que tomes puede darte diferentes respuestas y diferentes comportamientos dependiendo de dónde se encuentren los polos. Lo que está viendo en el ejemplo anterior es esta complejidad “filtrada” en la línea real.