Una pendiente es subida / carrera. “Aumento” significa el cambio en la coordenada y. “Ejecutar” significa el cambio en la coordenada x. Estos cambios se encuentran por sustracción, por lo que, por ejemplo, la pendiente entre los puntos (3,5) y (7,2) es
[matemáticas] \ frac {2 – 5} {7 – 3} = \ frac {-3} {4} [/ matemáticas]
La función que nombró se ve así
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La línea tangente al origen se ve así:
- ¿Por qué la derivada direccional es el producto escalar del vector de gradiente y unidad?
- ¿Cuál es el significado de la derivada de segundo orden?
- ¿Cómo muestra la regla de la cadena que la derivada es un functor?
- ¿Cómo se prueba la regla del cociente de diferenciación?
- ¿Cómo puede explicar el hecho de que e ^ x es igual cuando se diferencia o integra mediante la interpretación geométrica del cálculo?
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El punto rojo está en el punto (0, -4).
Desafortunadamente, esto no nos permite calcular la pendiente. Necesitaríamos dos puntos para hacer eso, y solo tenemos uno. Podríamos tratar de adivinar otro punto escogiendo uno que parezca que está en la línea, pero podríamos perder un poco si no dibujamos la línea correctamente.
En cambio, una forma más sistemática de estimar la pendiente es elegir otro punto en el gráfico original, como este:
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La línea roja aquí no es una línea tangente perfecta. Es una línea secante. Atraviesa dos puntos cercanos. Está bastante cerca de la línea tangente, pero no es exacta.
Para obtener una mejor aproximación, debemos poner los dos puntos más juntos, así: /main-qimg-c851dfba54090c015365c0752bd110b2-c.jpg)
Sin embargo, eso todavía no es perfecto. Nos gustaría acercar cada vez más los dos puntos …
Para hacer eso, calculamos la pendiente no para dos puntos concretos, como x = -3 yx = -3.01, sino para un punto concreto y un punto a una distancia pequeña, pero desconocida. Esa pequeña distancia se llama “h”. Entonces, el primer punto es x, el segundo es x + h.
Ahora tenemos dos puntos y queremos encontrar la pendiente entre ellos. La altura del gráfico en el primer punto (en su ejemplo original es x = 0) es f (x). El valor en el segundo es f (x + h). Restarlos da la diferencia en sus alturas: el aumento.
La diferencia horizontal, la carrera, es solo h porque esa es la definición de h.
Ahora podemos encontrar la pendiente entre los dos puntos mediante subida / carrera. Ese es el origen de la fórmula.
[matemáticas] \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ matemáticas]
Sin embargo, la pendiente que encontramos depende de qué h es. En las dos últimas imágenes, h es más grande en la primera y más pequeña en la segunda.
La verdadera línea tangente es cuando h se vuelve lo más pequeña posible. Sin embargo, no podemos comenzar con h = 0, porque eso significaría que los dos puntos están uno encima del otro y que no hay pendiente entre ellos. En cambio, miramos el límite cuando h va a cero. Por ejemplo, con h = 1 obtenemos una pendiente de 0. Con h = 0.1 obtenemos -0.9. Con h = 0.01 obtenemos -0.99, etc. Parece que en el límite cuando h va a cero, la pendiente va a -1.
En el cálculo particular que mostró, encuentran que la pendiente entre un punto en x y un punto en x + h es 2x + h – 1. En el límite como h-> 0, esta expresión se convierte en 2x – 1. Cuando x = 0, es -1. Esa es la pendiente de la tangente en x = 0.
El significado preciso de “en el límite” de la frase “en el límite donde h va a cero” es lo suficientemente sutil como para que durante mucho tiempo los matemáticos hicieran cálculos sin una definición rigurosa de lo que significaba. Puede aprenderlo más adelante en su curso, pero por ahora es mejor tratar de tener una sensación intuitiva de “en el límite de” y preocuparse por los detalles más adelante.
Las capturas de pantalla posteriores son de una demostración interactiva:
http: //demonstrations.wolfram.co…
Las parcelas anteriores se hicieron con WolframAlpha.
http://www.wolframalpha.com/