¿Por qué se escribe la segunda derivada [math] \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 y} {\ mathrm {d} x ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Lo siguiente puede no ser históricamente exacto, pero siempre ha tenido sentido pensarlo de esta manera.

En primer lugar, el superíndice 2 se aplica realmente a (dx) en el denominador, no solo en (x). Aquí, dx es una variable única cuyo nombre consta de más de un carácter.

En la expresión [math] \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} [/ math], [math] y [/ math] es una función, y [math] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} [/ math] es un operador que se aplica a esa función para transformarla en otra función.

El operador [math] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} [/ math] está compuesto por el operador [math] \ frac {d} {dx} [/ math] aplicado dos veces. En notación de operador, esto se afirma como si fuera una multiplicación, aunque en realidad es composición:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} = \ left (\ frac {d} {dx} \ right) ^ 2 = \ frac {d} {dx} \ frac {d} {dx} [ /matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} y = \ frac {d} {dx} \ frac {d} {dx} y [/ matemáticas]

Aunque es incorrecto pensar en la aplicación de operadores a funciones como simple multiplicación, esta notación puede servir como un dispositivo útil para pensar en operadores.

Answer 2

Cuando Leibniz se le ocurrió la notación, no usó paréntesis. [Math] d [/ math] significa diferencial, entonces [math] dx [/ math] es el diferencial en [math] x [/ math], un incremento infinitesimal en [math] x [/ math].

Si [math] y [/ math] depende de [math] x [/ math], entonces para un incremento infinitesimal [math] dx [/ math] en [math] x [/ math], hay un incremento infinitesimal correspondiente en [math] y [/ math] denotado [math] dy [/ math]. La relación de estos dos diferenciales es la derivada [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math]. Aunque ambos son infinitamente pequeños, su relación es un número real. Tenga en cuenta que [math] dx [/ math] está en cursiva porque es un símbolo matemático, no una palabra.

Luego, Leibniz calculó la segunda derivada como la razón de dos diferenciales, siendo uno el diferencial de la primera derivada [math] d \ dfrac {dy} {dx} [/ math], que puede escribirse como [math] \ dfrac {d ^ 2y} {dx} [/ math], y el otro es [math] dx [/ math] en sí. Por lo tanto, la segunda derivada es [math] \ dfrac {d ^ 2y} {dx} \ Big / dx [/ math], que escribió como [math] \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} [/ math ] Se supone que ese símbolo al cuadrado en el denominador indica el cuadrado de [math] dx [/ math].

Answer 3

Aquí hay otra forma de escribir la derivada:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {d} {dx} y, [/ math]

aclarando que el operador es [math] d / dx [/ math]; cuando se aplica a [math] y [/ math], significa “formar una diferencia infinitesimal de [math] y [/ math] correspondiente a un cambio infinitesimal en [math] x [/ math], y dividir el resultado por el infinitesimal cambio en [matemáticas] x [/ matemáticas]. Es decir,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} y (x) = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ frac {y (x + \ Delta x) -y (x)} {\ Delta x}. [/matemáticas]

Ahora usando esta notación, déjame formar la segunda derivada:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ left (\ frac {d} {dx} y \ right) = \ left (\ frac {d} {dx} \ right) ^ 2y. [/ math]

Esto debería aclarar por qué es la parte [math] d / dx [/ math] la que está al cuadrado. El resto es de hecho una convención de notación:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {d} {dx} \ right) ^ 2 = \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2}, [/ math]

lo que significa, de forma algo inconsistente, que en el denominador [matemática] dx ^ 2 = (dx) ^ 2 [/ matemática], NO [matemática] d (x ^ 2) [/ matemática].