¿Por qué la regla de poder traduce [matemática] \ frac {d} {dx} x ^ n [/ matemática] a [matemática] n \ cdot x ^ {n – 1} [/ matemática]?

Answer 1

Para n pequeña, el resultado puede verse intuitivamente.

Para n = 2, estamos diferenciando x ^ 2. x ^ 2 es el área de un cuadrado cuya longitud lateral es x. Fije un punto en el origen, luego dibuje el punto (x, x) y complete el cuadrado. [matemáticas] \ textrm {d} x [/ matemáticas] significa “un pequeño cambio en x”. Entonces aumente xa poco. Mientras lo hace, el punto (x, x) se aleja diagonalmente del origen, lo que aumenta el área del cuadrado. Ese aumento de área proviene del lado derecho del cuadrado y la parte superior del cuadrado se mueve hacia afuera y se extiende por un área adicional a medida que se mueven. El área barrida por los lados es la misma que el área agregada al cuadrado. Esta área es proporcional a 2x, la longitud total de los lados que realizan el barrido, y a dx, la distancia barrida. Por lo tanto, la derivada de x ^ 2 proviene de

[matemáticas] \ textrm {d} x ^ 2 = 2x \ textrm {d} x [/ matemáticas].

Esto se puede leer, “el cambio en el área de un cuadrado es igual a la longitud de los lados móviles por la distancia que se mueven”. Divide ambos lados entre [math] \ textrm {d} x [/ math] para obtener la derivada.

Para n = 3, dibuja un cubo con lados de longitud x. Ahora, a medida que aumenta x, el volumen del cubo (x ^ 3) aumenta porque tres lados, cada uno de área x ^ 2, son empujados y barren a través de una nueva área. Esto da

[matemáticas] \ textrm {d} x ^ 3 = 3x ^ 2 \ textrm {d} x [/ matemáticas].

n = 1 se convierte en el cambio en la longitud de una línea a medida que aumenta la longitud de la línea, que es 1. Para n = 0, estamos encontrando el cambio en un punto. Los puntos son todos iguales, por lo que es cero.

Para otros valores de n, puede usar reglas de cálculo como la regla del producto, o puede optar por una comprensión matemática más profunda de la exponenciación como Sridhar alude a la parte superior de su respuesta.

Answer 2

[Pido disculpas por las etiquetas matemáticas rotas en el siguiente; de alguna manera, Quora se niega a publicar esta respuesta de lo contrario]

Hay varias formas de ver esto. En general, se puede leer de manera bastante inmediata de la definición de exponenciación, pero dependiendo del alcance de los exponentes en los que uno esté interesado, se puede dar dicha definición de diferentes maneras.

Primero, la forma más general y quizás más limpia, cubriendo todos y cada uno de los exponentes, todo a la vez (pero en consecuencia restringido a esas bases que tiene sentido plantear a tales exponentes generales):

• Tenga en cuenta que [nomath] x ^ n = e ^ {ln (x)} ^ n = e ^ {ln (x) n} [/ math]; de hecho, esta relación, entendida adecuadamente, se usa para definir la exponenciación con exponentes generales. Al diferenciar ambos lados de [nomath] x ^ n = e ^ {\ ln (x) n} [/ math] (con respecto a x), encontramos que [nomath] \ frac {d} {dx} x ^ n = e ^ {\ ln (x) n} \ frac {1} {x} n = x ^ n \ frac {1} {x} n = nx ^ {n-1} [/ math].

Por otro lado, uno solo puede estar interesado en la exponenciación limitada a exponentes de números naturales, con la exponenciación interpretada como multiplicación repetida.

• Nuevamente, lo más sencillo es comenzar desde la definición de exponenciación: [nomath] x ^ n = x * x * x * … * x [/ math], con n muchas xes. Para diferenciar esto, recurrimos a la regla del producto: cada factor contribuye con un término a la derivada, siendo ese término la derivada de ese factor multiplicado por todos los demás factores. Como hay n muchas xes, hay n muchos términos; cada término es [nomath] \ frac {d} {dx} x [/ math] veces todas menos una de las xes, es decir, 1 veces [nomath] x ^ {n-1} [/ math]. Por lo tanto, la derivada total es [nomath] nx ^ {n-1} [/ math].

Para clases de exponentes ligeramente menos restringidas, el razonamiento de este último caso, adecuadamente extendido, también funciona, con instancias adicionales de reglas de producto insertadas para que coincidan con las propiedades definitorias relevantes de la exponenciación en estos casos más amplios:

• Para enteros: la propiedad definitoria de la exponenciación con exponentes enteros es que [nomath] x ^ 0 = x ^ {n + -n} = x ^ nx ^ {- n} [/ math]. Al diferenciar ambos lados, tenemos que [nomath] 0 = nx ^ {n-1} x ^ {- n} + x ^ n \ frac {d} {dx} x ^ {- n} [/ math]; por lo tanto, [nomath] \ frac {d} {dx} x ^ {- n} = -nx ^ {- n – 1} [/ math]
• Para racionales: La propiedad definitoria de la exponenciación con exponentes racionales es que [nomath] x ^ p = x ^ {p / q * q} = x ^ {p / q} ^ q [/ math]. Al diferenciar ambos lados, tenemos que [nomath] px ^ {p-1} = qx ^ {p / q} ^ {q – 1} \ frac {d} {dx} x ^ {p / q} [/ math ]; por lo tanto, [nomath] \ frac {d} {dx} x ^ {p / q} = p / qx ^ {p / q – 1} [/ math]
• Para “números reales”: La propiedad definitoria de la exponenciación con exponentes de números reales es que se da continuamente por aproximación con exponentes racionales; así, una vez que se establece la regla de potencia para exponentes racionales, se extiende automáticamente a exponentes de números reales.

Por supuesto, toda esta invocación de la regla del producto recuerda la cuestión de dónde proviene la regla del producto. Bueno, la regla del producto equivale a la misma derivada de la función de multiplicación.

(A menudo se presenta de una manera más indirecta, ya que la multiplicación es una función de múltiples variables y el cálculo se enseña tradicionalmente de manera segregada, introducida de una manera que evita cualquier discusión sobre su elemento multivariable, de modo que en lugar de captar directamente la derivada de la multiplicación , solo hay que hablar de cómo se puede usar para calcular las derivadas de funciones de “variable única” con multiplicaciones en ellas. No creo que este enfoque segregado sea necesariamente el más propicio para la comprensión fundamental, y de hecho lo creo activamente dañino en algunos aspectos, pero bueno …).

Específicamente, la regla del producto surge del hecho de que la derivada del escalado por cualquier constante es solo esa constante (ya que la aproximación lineal ideal a una función genuinamente lineal es, por supuesto, solo ella misma), lo que significa la derivada de un producto de cualquier número de distintas variables con respecto a cualquier variable particular es solo el producto de las otras variables; La combinación de esto con la “regla de cadena” (multivariable) da la regla del producto como se presenta habitualmente. Pero supongo que todo esto está entrando un poco en las respuestas a otras preguntas.

Answer 3

Esto viene de http://en.wikipedia.org/wiki/Bin …, junto con la definición de un derivado. Específicamente,

[matemáticas] (x + \ epsilon) ^ k = x ^ k + k \ epsilon x ^ {k-1} + \ binom {k} {2} \ epsilon ^ 2 x ^ {k – 2} + \ puntos [ /matemáticas],

entonces

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (x ^ k) = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {(x + \ epsilon) ^ k – x ^ k} {\ epsilon} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ frac {k \ epsilon x ^ {k – 1} + \ binom {k} {2} \ epsilon ^ 2 x ^ {k – 2} + \ dots} {\ epsilon} [/ math]
[matemáticas] = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} kx ^ {k – 1} + \ binom {k} {2} \ epsilon x ^ {k – 2} + \ puntos [/ matemáticas]
[matemáticas] = kx ^ {k – 1} [/ matemáticas].